Difensore arcigno, di grande temperamento e molto abile nel gioco aereo.
Inizia la sua carriera agonista al Boca Juniors, con il quale vince due campionati, 3 Coppe Libertadores e 2 Coppe Intercontinentali, mettendosi più che in mostra.
L'Inter di Massimo Moratti ne acquisisce il cartellino, ma a causa di una grave leucemia che colpisce la figlia, Burdisso è costretto ad assentarsi quasi tutto il primo anno per restare accanto alla figlia: Moratti gli conferma comunque il contratto, nonostante Burdisso fosse disposto anche a rescinderlo.
Con la squadra nerazzurra vince parecchio in Italia e dimostra tutte le sue caratteristiche, anche quella di attaccabrighe, tanto da farsi squalificare per 6 giornate in Europa per una rissa nella partita contro il Valencia.
Dopo cinque stagioni in nerazzurro, Burdisso capisce che per lui la prospettiva di essere titolare non è più garantita e la Roma si offre di acquistarlo, prima in prestito e poi definitivamente.
Resta in giallorosso 4 anni, emergendo dalla massa anche nei momenti più bui delle guide tecniche di Luis Enrique e Zeman, risultando quasi sempre uno degli ultimi a mollare e ad uscire dal campo sempre e comunque con la maglia zuppa di sudore, caratteristiche sempre ben apprezzata dalla tifoseria della Roma.
Il quinto anno in giallorosso per lui si apre nuovamente con la prospettiva di fare tanta panchina, visto che la Roma punta forte su Castan e Benatia: lui si sente ancora integro fisicamente e si vuole giocare le sue carte per poter partecipare al mondiale in Brasile con la sua Argentina, per cui decide di tentare la nuova avventura al Genoa, che sicuramente gli può consegnare le chiavi della propria difesa.