Cresce nel settore giovanile della Roma e nella stagione 2003-2004 va in ritiro con la prima squadra, come terzo portiere alle spalle di Pelizzoli e Zotti.
La stagione per lui si conclude con solo qualche presenza in panchina.
L'esordio in massima serie avviene nella stagione successiva, al termine della quale conterà 11 presenze totali, alternando buone prestazioni ad improbabili errori dovuti più che altro all'inesperienza.
La grande occasione per lui si presenta nella stagione 2005-2006, quando parte come portiere titolare, ma alcune gravi disattenzioni mettono in allarme la società che decide di invetsire subito su un portiere con più esperienza. La soluzione viene trovata in Doni, portiere brasiliano, che appena arrivato a Roma esordisce subito nel derby contro la Lazio. Da quel momento Curci torna a vedere le partite dalla panchina, anche se nelle partite di Coppa Italia e Coppa Uefa rimane il titolare.
Ormai per lui le porte non è più possibile tornare ad essere il titolare della Roma per cui, dopo un altro paio di annate a scaldare la panchina, decide di andare a cercare fortuna altrove, prima a Siena e poi a Genova, sponda blucerchiata.
Nell'estate 2011 viene riscattato completamente dalla Roma, per l'irrisoria cifra di 500 euro, fatto che dimostra quanto anche la Sampdoria credesse poco in lui.
Pochi scampoli di partite prima di lasciare nuovamente la Roma, destinazione Bologna: un anno e mezzo da titolare che confermano i suoi limiti.
Torna alla Roma, che lo utilizza solo per inserirlo nella lista UEFA per riempire la casella di giocatore formato nel vivaio. A fine anno lascia definitivamente la maglia giallorossa.